音频频谱（FFT）

🧮算法原理

从 O(N²) 到 O(N log N)

直接按定义计算 DFT，N 个频率分量每个都要把 N 个采样加一遍，一共 N² 次运算。Cooley-Tukey 算法把长度为 N 的变换拆成偶数下标和奇数下标两个长度为 N/2 的变换，再用「蝶形运算」合并；递归拆到长度 1，总共 log₂N 层，每层 N 次运算。N = 2048 时，运算量从约 420 万次降到约 2.2 万次。

迭代实现：位反转 + 蝶形

代码没有用递归：先把输入按下标的二进制位反转重新排列（例如 N=8 时，下标 1 = 001 与 4 = 100 交换位置），然后从长度 2 开始，一层层用蝶形运算合并，直到长度 N。整个过程在原数组上完成，不需要额外内存。

Hann 窗

FFT 假设输入是无限重复的周期信号，一段波形的首尾接不上时，频谱会「泄漏」到很宽的范围。计算前先乘以 Hann 窗 w(n) = 0.5·(1 − cos(2πn/N))，让两端平滑地降到零，泄漏基本只影响峰值两边相邻的频率格子。

峰值频率与音名

频率分辨率是 采样率 / N（48 kHz、N = 2048 时约 23 Hz）。为了比这更准，对峰值及其左右两个格子的 dB 值做抛物线插值，估计真正的峰值位置，再换算成最接近的音名和偏差（单位：音分 ¢，1 个半音 = 100 音分）。

🔄Rust 与 JavaScript 的分工

1. JS每一帧取得一段长度为 N 的采样：合成信号由 JS 按公式实时计算（C 大三和弦，或 100 Hz → 10 kHz 的指数扫频）；麦克风信号从 Web Audio 的 AnalyserNode.getFloatTimeDomainData() 读取。
2. RustJS 调用 fft_magnitudes(采样)。Rust 加 Hann 窗、做 FFT，返回 N/2 + 1 个频率格子的幅度，已经归一化：振幅为 A 的正弦波，峰值读数约等于 A。
3. JSJS 把幅度换算成分贝，按对数频率轴画出波形、频谱柱状图和时频图，并插值计算峰值频率。

浏览器的 AnalyserNode 其实自带 FFT（getFloatFrequencyData）。这里故意只从它取原始波形，由 Rust 来做变换，这样合成信号和麦克风信号走的是同一套算法。